原油與外匯市場間的總體、非對稱與頻率相依關聯性分析

2.1. 數據與變數

數據集涵蓋2007年至2017年，包括：

• 石油市場： 西德州中級原油期貨價格（5分鐘間隔）。
• 外匯市場： 主要貨幣兌美元的匯率（歐元、英鎊、日圓等），同樣為高頻數據。
• 核心變數： 根據日內報酬計算的已實現波動率，作為市場不確定性的衡量指標。
• 分解： 計算已實現半變異數（$RS^+$ 和 $RS^-$），以分別捕捉正向與負向報酬所導致的波動，從而實現非對稱性分析。

2.2. 總體關聯性框架

本研究採用基於向量自我迴歸模型與預測誤差變異數分解的Diebold和Yilmaz溢出指數框架。總體關聯性指數量化了所有變數中，來自溢出效應（相對於個別衝擊）的預測誤差變異數比例。

2.3. 非對稱性與頻率分解

這是本文在方法論上的主要貢獻：

• 非對稱性關聯： 透過將已實現半變異數（$RS^+$, $RS^-$）導入關聯性框架，作者區分了來自「正向波動」（正向報酬）與「負向波動」（負向報酬）的溢出效應。
• 頻率關聯： 運用Baruník和Křehlík的變異數分解頻譜表示法，將總體關聯性分解為與不同頻率區間相關的組成部分（例如，短期：1-5天，長期：>20天）。這揭示了溢出效應是暫時性的還是持續性的。

3.1. 總體關聯性動態

石油與外匯市場間的總體波動關聯性顯著且隨時間變化。主要發現：

• 在金融動盪時期（例如2008年全球金融危機、2014-2016年油價崩盤），溢出效應急遽增強。
• 全球貨幣政策體制的分歧（例如聯準會縮減購債）是外匯波動溢出效應增加的關鍵驅動因素。
• 投資組合洞察： 在純外匯投資組合中加入石油，會降低投資組合的整體關聯性。這表明石油可以作為一種多元化工具，降低投資組合內部對跨市場溢出效應的脆弱性。

3.2. 非對稱性溢出效應

研究發現，非對稱性效應的幅度平均而言相對較小，但其方向具有啟發性：

• 僅在外匯市場內部，來自負向衝擊（負向波動）的溢出效應主導了來自正向衝擊的溢出。
• 當同時分析石油與外匯市場時，正向衝擊（正向波動）產生更強的溢出效應。這表明石油市場的正面發展可能將樂觀情緒或風險偏好傳播至貨幣市場。

3.3. 頻率相依關聯性

此分析或許提供了最細緻的洞察：

• 長期關聯性（與較低頻率相關）是最主要的組成部分，並在危機期間表現出最劇烈的激增。
• 主要驅動因素： 長期關聯性主要由不確定性衝擊驅動（例如地緣政治事件、結構性需求變化）。
• 次要驅動因素： 流動性衝擊也會影響長期關聯性，但程度較輕。
• 短期關聯性更為穩定，並與高頻交易和暫時性新聞相關。

5.1. 數學基礎

頻率關聯性的核心在於變異數-共變異數矩陣的頻譜分解。對於一個 $K$ 變數的 VAR($p$) 系統：$\mathbf{Y}_t = \sum_{i=1}^p \Phi_i \mathbf{Y}_{t-i} + \epsilon_t$，其中 $\epsilon_t \sim (0, \Sigma)$。$\mathbf{Y}_t$ 在頻率 $\omega$ 處的頻譜密度為：$S_{\mathbf{Y}}(\omega) = \Psi(e^{-i\omega}) \Sigma \Psi'(e^{+i\omega})$，其中 $\Psi(e^{-i\omega})$ 是 MA($\infty$) 係數的傅立葉轉換。變數 $j$ 的預測誤差變異數中，可歸因於頻率 $\omega$ 處變數 $k$ 衝擊的比例，由 FEVD 的頻譜版本給出：

$$\theta_{j,k}(\omega) = \frac{\sigma_{kk}^{-1} \sum_{h=0}^{\infty} |\Psi_h(\omega)_{j,k}|^2}{\sum_{k=1}^K \sigma_{kk}^{-1} \sum_{h=0}^{\infty} |\Psi_h(\omega)_{j,k}|^2}$$

其中 $\Psi_h(\omega)$ 是頻率響應函數。特定頻率區間 $d = (a, b)$ 內的關聯性衡量，則透過在該區間上對 $\theta_{j,k}(\omega)$ 進行積分獲得。

5.2. 分析框架範例

個案研究：分析2014年油價崩盤

目標： 確定2014-2016年期間波動如何從石油溢出至加幣與挪威克朗，並區分短期交易效應與長期結構性影響。

1. 數據準備： 計算西德州中級原油、加幣兌美元、挪威克朗兌美元的5分鐘已實現波動率與半變異數。
2. 模型估計： 為向量 $[RV_{Oil}, RV_{CAD}, RV_{NOK}]$ 以及分別為 $[RS^+_{Oil}, RS^+_{CAD}, ...]$ 和 $[RS^-_{Oil}, RS^-_{CAD}, ...]$ 估計每日 VAR 模型。
3. 頻率分解： 將 Baruník-Křehlík 頻譜分解應用於來自總體 RV VAR 的變異數-共變異數矩陣。定義區間：短期（1-5個營業日）、中期（5-20天）、長期（20天以上）。
4. 詮釋：
   • 若從石油到加幣的溢出效應在長期區間最強，則表明崩盤影響了加拿大的貿易條件與長期經濟前景，驅動了持續的加幣波動。
   • 若非對稱性分析顯示 $RS^-$ 溢出效應占主導地位，則證實危機是由傳播恐懼的負向衝擊所驅動。
   • 比較投資組合 [CAD, NOK] 與 [CAD, NOK, Oil] 的總體關聯性，很可能顯示後者降低，從而說明多元化效益。