Taux de change à terme et paradoxe de Siegel : une solution axiomatique

Table des matières

1. Introduction

Le paradoxe de Siegel, issu de Siegel (1972), présente une énigme fondamentale et persistante en finance internationale concernant la détermination des taux de change à terme. Le paradoxe met en lumière une incohérence inhérente lorsque des investisseurs neutres au risque de deux devises différentes tentent de s'accorder sur un taux à terme unique basé sur leurs anticipations des taux au comptant futurs. Cet article de Mallahi-Karai et Safari aborde ce problème vieux de plusieurs décennies avec une nouvelle approche axiomatique, dépassant les explications traditionnelles par l'aversion au risque ou la microstructure des marchés pour proposer une solution mathématiquement rigoureuse.

2. Le problème du paradoxe de Siegel

Le cœur du paradoxe de Siegel réside dans la non-linéarité de la fonction réciproque et son interaction avec l'opérateur d'espérance.

2.1 Énoncé formel

Considérons deux états futurs du monde, $\omega_1$ et $\omega_2$, chacun avec une probabilité de 50 %. Soient les taux de change au comptant futurs (Euros contre Dollars US) dans ces états $e_1$ et $e_2$, respectivement.

• Un investisseur basé en Euro, cherchant à vendre des Euros contre des Dollars à une date future $T$, considérerait naturellement l'espérance $\frac{1}{2}(e_1 + e_2)$ comme un taux à terme équitable $F$.
• Un investisseur basé en Dollar, effectuant l'opération réciproque (vendre des Dollars contre des Euros), calculerait le taux à terme équitable dans ses propres termes comme l'espérance de la réciproque : $\frac{1}{2}(\frac{1}{e_1} + \frac{1}{e_2})$.

Pour que ces taux soient cohérents sur un marché unique, le taux $F$ convenu doit satisfaire $\frac{1}{F} = \mathbb{E}[\frac{1}{E_T}]$, où $E_T$ est le taux au comptant futur. Le paradoxe est que, sauf dans des cas triviaux, $\mathbb{E}[E_T] \neq \frac{1}{\mathbb{E}[1/E_T]}$ en raison de l'inégalité de Jensen. Il n'existe pas de nombre unique qui puisse être simultanément la moyenne arithmétique des $e_i$ et la moyenne harmonique des $1/e_i$.

2.2 Contexte historique et approches antérieures

La littérature antérieure a tenté de résoudre le paradoxe en introduisant des éléments comme l'aversion au risque (Beenstock, 1985), des taux d'intérêt différentiels, ou en suggérant que les investisseurs acceptent des profits en devise étrangère (Roper, 1975). Obstfeld & Rogoff (1996) ont noté que le taux à terme se négocie probablement entre $\mathbb{E}[E_T]$ et $1/\mathbb{E}[1/E_T]$. Cependant, une solution définitive, symétrique et acceptable pour des contreparties neutres au risque restait insaisissable.

3. Cadre axiomatique

Les auteurs proposent un nouveau départ en définissant une fonction d'agrégation $\Phi$ qui associe un ensemble de taux de change futurs possibles $\{e_1, e_2, ..., e_n\}$ (avec leurs probabilités associées) à un taux à terme unique $F = \Phi(\{e_i\})$.

3.1 Définition de l'agrégateur

L'agrégateur $\Phi$ prend la distribution des états futurs en entrée et produit le taux à terme convenu. L'objectif est de caractériser toutes les fonctions $\Phi$ qui satisfont des axiomes économiquement rationnels.

3.2 Axiomes fondamentaux

1. Sans arbitrage : Le taux à terme déterminé $F$ ne doit pas permettre un profit sans risque garanti. Formellement, si tous les taux au comptant futurs possibles $e_i$ sont égaux à une constante $c$, alors $\Phi$ doit retourner $F = c$.
2. Symétrie (Invariance par inversion de devise) : L'agrégateur doit être cohérent quelle que soit la devise choisie comme base. Si $F = \Phi(\{e_i\})$ est le taux à terme EUR/USD, alors $1/F$ doit être égal à l'agrégateur appliqué aux taux réciproques : $1/F = \Phi(\{1/e_i\})$. Cela garantit l'absence de biais inhérent envers l'une ou l'autre devise.
3. Invariance par redénomination : La solution doit être invariante à un simple changement d'échelle de la devise (par exemple, convertir des Euros en centimes). Cela impose une condition d'homogénéité à $\Phi$.

4. Solution mathématique et classification

4.1 Dérivation de la solution générale

Sous les axiomes énoncés, les auteurs prouvent que le taux à terme $F$ doit satisfaire une équation fonctionnelle spécifique. L'axiome de symétrie est particulièrement puissant, conduisant à l'exigence que $F$ et $1/F$ soient déterminés par la même règle appliquée à $\{e_i\}$ et $\{1/e_i\}$, respectivement.

4.2 La fonction de réciprocité

L'objet mathématique clé qui émerge est une fonction de réciprocité $R$. Le résultat fondamental est que tout taux à terme sans arbitrage et symétrique peut s'exprimer sous la forme : $$F = \frac{\mathbb{E}[E_T \cdot R(E_T)]}{\mathbb{E}[R(E_T)]}$$ où $R: (0, \infty) \to (0, \infty)$ est une fonction mesurable satisfaisant la condition de réciprocité : $$R(x) = \frac{1}{x \cdot R(1/x)} \quad \text{pour tout } x > 0.$$ Ici, $\mathbb{E}$ désigne l'espérance sous la mesure de probabilité risque-neutre ou subjective. La fonction $R$ agit comme un noyau de pondération ou de « négociation ».

4.3 Classification de tous les agrégateurs valides

L'article fournit une caractérisation complète : Tout agrégateur satisfaisant les trois axiomes correspond de manière unique à une fonction de réciprocité $R$ comme définie ci-dessus. Cette classe inclut des cas particuliers bien connus :

• Si $R(x) = 1$, alors $F = \mathbb{E}[E_T]$ (la moyenne arithmétique). Cela viole l'axiome de symétrie sauf si $E_T$ est constant.
• Si $R(x) = 1/x$, alors $F = 1 / \mathbb{E}[1/E_T]$ (la moyenne harmonique). Cela viole aussi généralement la symétrie.
• La moyenne géométrique émerge comme la solution symétrique unique et naturelle. Elle correspond au choix $R(x) = 1/\sqrt{x}$. La substitution dans la formule générale donne : $$F = \frac{\mathbb{E}[E_T \cdot (1/\sqrt{E_T})]}{\mathbb{E}[1/\sqrt{E_T}]} = \frac{\mathbb{E}[\sqrt{E_T}]}{\mathbb{E}[1/\sqrt{E_T}]} = \exp\left(\mathbb{E}[\ln E_T]\right).$$ La dernière égalité est valable sous des hypothèses distributionnelles spécifiques (comme la log-normalité) ou dans la limite d'états continus, identifiant $F$ comme l'exponentielle de l'espérance du logarithme du taux, c'est-à-dire la moyenne géométrique.

Ainsi, la moyenne géométrique n'est pas un choix arbitraire, mais la solution canonique, justifiée axiomatiquement, au sein d'une large famille.

5. Analyse technique et idées fondamentales

6. Perspective de l'analyste : une déconstruction en quatre étapes

Idée fondamentale : Mallahi-Karai et Safari n'ont pas seulement résolu une énigme ; ils ont reformulé toute la conversation. Ils montrent que le « paradoxe » de Siegel est en réalité une contrainte de conception pour tout mécanisme de tarification cohérent dans un monde à deux devises. La véritable idée est que le taux à terme n'est pas une prévision d'une moyenne ; c'est le résultat d'un algorithme d'imposition de la cohérence (l'agrégateur) qui doit obéir à des règles logiques immuables—la symétrie étant la principale. Cela déplace la discussion de l'économétrie vers la conception de mécanismes.

Enchaînement logique : L'élégance de l'argument réside dans sa simplicité. 1) Définir ce qu'une règle de tarification « équitable » devrait fondamentalement exiger (pas d'arbitrage, pas de biais de devise). 2) Exprimer ces exigences comme des axiomes mathématiques. 3) Résoudre l'équation fonctionnelle résultante. 4) Découvrir que l'espace des solutions est paramétré par un « noyau de négociation » $R(x)$, avec la moyenne géométrique comme son centre naturel et non pondéré. L'enchaînement est impeccable : du principe économique à la nécessité mathématique.

Points forts et faiblesses :
Points forts : L'approche axiomatique est puissante et élégante, fournissant un théorème de classification définitif. Elle réussit à découpler le noyau logique du paradoxe des caractéristiques secondaires du marché comme les préférences de risque. Le lien avec la moyenne géométrique donne à la théorie une assise immédiate et intuitive.
Faiblesses : La principale faiblesse de l'article est son abstraction par rapport aux mécanismes réels du marché. Il suppose une distribution de probabilité unique et convenue $\mathbb{E}$, passant sous silence la question critique de quelles anticipations comptent. En pratique, les croyances hétérogènes et le comportement stratégique des teneurs de marché (comme documenté dans l'enquête triennale de la Banque des Règlements Internationaux) compliqueraient l'application directe. Le modèle est une référence pour la rationalité, pas une théorie positive complète de la formation des prix.

Perspectives actionnables : Pour les quants et les structurateurs, cet article fournit une justification rigoureuse pour utiliser la moyenne géométrique (ou ses généralisations pondérées) dans la tarification des produits dérivés cross-devises où la symétrie est cruciale, comme les options quanto ou les contrats avec échange de devises. Les gestionnaires de risques doivent noter que tout modèle de taux à terme ne satisfaisant pas ces axiomes contient implicitement un biais de devise caché, qui pourrait être une source de risque de modèle. Le principal enseignement : toujours tester vos modèles de change pour la symétrie. Une vérification simple—inverser la paire de devises et relancer le modèle donne-t-il des résultats parfaitement cohérents ?—pourrait révéler des défauts fondamentaux.

7. Cadre d'analyse et exemple conceptuel

Étude de cas conceptuelle : Tarification d'un contrat à terme
Supposons un consensus du marché sur deux scénarios futurs EUR/USD équiprobables : $e_1 = 1.05$ et $e_2 = 0.95$.

• Moyenne arithmétique (point de vue de l'investisseur EUR) : $F_A = (1.05 + 0.95)/2 = 1.00$
• Moyenne harmonique (point de vue de l'investisseur USD) : $F_H = 2 / (1/1.05 + 1/0.95) \approx 0.9975$
• Moyenne géométrique (solution axiomatique) : $F_G = \sqrt{1.05 \times 0.95} \approx 0.9987$

La moyenne géométrique $F_G$ est le taux unique tel qu'un investisseur basé en USD calculant le taux à terme réciproque (USD/EUR) en utilisant la même règle de moyenne géométrique obtienne une réponse parfaitement cohérente : $1/F_G \approx 1.0013$, et $\sqrt{(1/1.05) \times (1/0.95)} \approx 1.0013$. Aucun autre taux n'a cette propriété. La fonction de réciprocité pour la moyenne géométrique est $R(x)=1/\sqrt{x}$, qui « pondère » également chaque perspective.

8. Applications futures et directions de recherche

1. Marchés des actifs numériques et crypto : Ce cadre est très pertinent pour la tarification des contrats à terme et des swaps perpétuels sur des paires de cryptomonnaies (par exemple, BTC/ETH), où le concept de devise « de base » est encore plus fluide et la symétrie est primordiale.
2. Apprentissage automatique pour $R(x)$ : La fonction de réciprocité $R(x)$ peut être interprétée comme un noyau de « pouvoir de négociation ». La recherche empirique pourrait utiliser les données de marché pour reconstruire la fonction $R(x)$ implicite, révélant comment la symétrie est pondérée en pratique—potentiellement une nouvelle mesure de la structure du marché ou de la dominance entre zones monétaires.
3. Extension aux paniers multi-devises : L'étape naturelle suivante est la généralisation des axiomes à un réseau de $n$ devises. Cela se connecte à la littérature sur la construction d'indices cohérents et la tarification sans arbitrage triangulaire sur les marchés des changes, un sujet exploré en profondeur par des institutions comme le FMI pour la valorisation des DTS.
4. Intégration avec les facteurs d'actualisation stochastiques : La fusion de cette approche d'agrégation symétrique avec la théorie standard de la tarification des actifs (via les facteurs d'actualisation stochastiques) pourrait produire de nouveaux modèles testables pour les courbes de taux à terme, intrinsèquement exempts d'incohérences de type Siegel.

9. Références

1. Siegel, J. J. (1972). Risk, interest rates and the forward exchange. The Quarterly Journal of Economics, 86(2), 303–309.
2. Obstfeld, M., & Rogoff, K. (1996). Foundations of International Macroeconomics. MIT Press. (Voir Chapitre 8, Section 8.3 sur le paradoxe de Siegel).
3. Banque des Règlements Internationaux. (2019). Enquête triennale des banques centrales : le volume des transactions sur le marché des changes en avril 2019. [Source externe : fournit un contexte sur l'immense échelle du marché des changes].
4. Nalebuff, B. (1989). The other person's envelope is always greener. Journal of Economic Perspectives, 3(1), 171–181.
5. Beenstock, M. (1985). A note on Siegel's paradox. Journal of International Money and Finance, 4(2), 287–290.
6. Edlin, A. S. (2002). Forward discount bias, Siegel's paradox, and market inefficiency. Econometric Society World Congress 2002 Contributed Papers.
7. Roper, D. E. (1975). The role of expected value analysis for speculative decisions in the forward currency market. The Quarterly Journal of Economics, 89(1), 157–169.