ভবিষ্যৎ বিনিময় হার এবং সিগেলের প্যারাডক্স: একটি স্বতঃসিদ্ধ সমাধান

সূচিপত্র

1. ভূমিকা

সিগেলের প্যারাডক্স, যা সিগেল (১৯৭২) থেকে উদ্ভূত, ফরওয়ার্ড বিনিময় হার নির্ধারণ সংক্রান্ত আন্তর্জাতিক অর্থসংস্থানের একটি মৌলিক ও স্থায়ী ধাঁধা উপস্থাপন করে। এই প্যারাডক্সটি একটি অন্তর্নিহিত অসঙ্গতি তুলে ধরে যখন দুটি ভিন্ন মুদ্রার ঝুঁকি-নিরপেক্ষ বিনিয়োগকারীরা ভবিষ্যত স্পট হারের প্রত্যাশার ভিত্তিতে একটি একক ফরওয়ার্ড হারে সম্মত হতে চেষ্টা করে। মাল্লাহি-কারাই এবং সাফারির এই গবেষণাপত্রটি এই দশক-প্রাচীন সমস্যাটি একটি অভিনব, স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতির মাধ্যমে মোকাবেলা করে, যেখানে ঐতিহ্যগত ঝুঁকি-বিমুখতা বা বাজার মাইক্রোস্ট্রাকচার ব্যাখ্যার বাইরে গিয়ে একটি গাণিতিকভাবে কঠোর সমাধান প্রস্তাব করা হয়েছে।

2. সিগেল প্যারাডক্স সমস্যা

সিগেলের প্যারাডক্সের মূল কেন্দ্রবিন্দু হলো পারস্পরিক ফাংশনের অ-রৈখিকতা এবং প্রত্যাশা অপারেটরের সাথে এর মিথস্ক্রিয়া।

2.1 আনুষ্ঠানিক বিবৃতি

বিশ্বের দুটি ভবিষ্যত অবস্থা বিবেচনা করুন, $\omega_1$ এবং $\omega_2$, যার প্রতিটির সম্ভাবনা ৫০%। ধরা যাক এই অবস্থাগুলোতে ভবিষ্যত স্পট বিনিময় হার (ইউরো থেকে মার্কিন ডলার) যথাক্রমে $e_1$ এবং $e_2$।

• একজন ইউরো-ভিত্তিক বিনিয়োগকারী, যিনি ভবিষ্যত সময় $T$-এ ইউরো ডলারের জন্য বিক্রি করতে চান, স্বাভাবিকভাবেই প্রত্যাশিত মান $\frac{1}{2}(e_1 + e_2)$-কে একটি ন্যায্য ফরওয়ার্ড হার $F$ হিসেবে বিবেচনা করবেন।
• একজন ডলার-ভিত্তিক বিনিয়োগকারী, পারস্পরিক লেনদেন (ডলার ইউরোর জন্য বিক্রি) সম্পাদন করে, তাদের নিজস্ব পরিভাষায় ন্যায্য ফরওয়ার্ড হার হিসাবে পারস্পরিকের প্রত্যাশিত মান গণনা করবেন: $\frac{1}{2}(\frac{1}{e_1} + \frac{1}{e_2})$।

একটি একক বাজারে এই হারগুলির সামঞ্জস্য বজায় রাখার জন্য, সম্মত হওয়া হার $F$-কে অবশ্যই $\frac{1}{F} = \mathbb{E}[\frac{1}{E_T}]$ শর্তটি পূরণ করতে হবে, যেখানে $E_T$ হল ভবিষ্যত স্পট হার। প্যারাডক্সটি হলো যে, সাধারণ ক্ষেত্র ব্যতীত, জেনসেনের অসমতার কারণে $\mathbb{E}[E_T] \neq \frac{1}{\mathbb{E}[1/E_T]}$। এমন কোনও একক সংখ্যা নেই যা একই সাথে $e_i$-এর গাণিতিক গড় এবং $1/e_i$-এর হারমোনিক গড় হতে পারে।

2.2 ঐতিহাসিক প্রেক্ষাপট ও পূর্ববর্তী পদ্ধতি

পূর্ববর্তী সাহিত্যে ঝুঁকি-বিমুখতা (বিনস্টক, ১৯৮৫), ভিন্ন সুদের হার প্রবর্তন, বা বিনিয়োগকারীদের বিদেশী মুদ্রায় লাভ গ্রহণের পরামর্শ (রোপার, ১৯৭৫) দিয়ে প্যারাডক্স সমাধানের চেষ্টা করা হয়েছে। অবস্টফেল্ড ও রোগফ (১৯৯৬) উল্লেখ করেছেন যে ফরওয়ার্ড হার সম্ভবত $\mathbb{E}[E_T]$ এবং $1/\mathbb{E}[1/E_T]$-এর মধ্যে আলোচনার মাধ্যমে নির্ধারিত হয়। তবে, ঝুঁকি-নিরপেক্ষ পক্ষগুলির কাছে গ্রহণযোগ্য একটি চূড়ান্ত, প্রতিসম সমাধান অধরা থেকে যায়।

3. স্বতঃসিদ্ধ কাঠামো

লেখকরা একটি সমষ্টিকারী ফাংশন $\Phi$ সংজ্ঞায়িত করে একটি নতুন সূচনা প্রস্তাব করেন, যা সম্ভাব্য ভবিষ্যত বিনিময় হারগুলির একটি সেট $\{e_1, e_2, ..., e_n\}$ (সম্পর্কিত সম্ভাব্যতা সহ) একটি একক ফরওয়ার্ড হার $F = \Phi(\{e_i\})$-এ রূপান্তরিত করে।

3.1 সমষ্টিকারী সংজ্ঞায়ন

সমষ্টিকারী $\Phi$ ভবিষ্যত অবস্থার বণ্টনকে ইনপুট হিসেবে নেয় এবং সম্মত ফরওয়ার্ড হার আউটপুট দেয়। লক্ষ্য হলো এমন সমস্ত ফাংশন $\Phi$-এর বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করা যা অর্থনৈতিকভাবে যুক্তিসঙ্গত স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করে।

3.2 মূল স্বতঃসিদ্ধ

1. আর্বিট্রেজ-মুক্ত: নির্ধারিত ফরওয়ার্ড হার $F$ নিশ্চিত ঝুঁকিমুক্ত লাভের সুযোগ দিতে পারবে না। আনুষ্ঠানিকভাবে, যদি সকল সম্ভাব্য ভবিষ্যত স্পট হার $e_i$ একটি ধ্রুবক $c$-এর সমান হয়, তাহলে $\Phi$-কে অবশ্যই $F = c$ ফেরত দিতে হবে।
2. প্রতিসাম্য (মুদ্রা বিপরীতকরণ অপরিবর্তনীয়তা): সমষ্টিকারীকে অবশ্যই সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে হবে যে কোন মুদ্রাকে ভিত্তি হিসেবে বেছে নেওয়া হোক না কেন। যদি $F = \Phi(\{e_i\})$ EUR/USD ফরওয়ার্ড হয়, তাহলে $1/F$ অবশ্যই পারস্পরিক হারগুলিতে প্রয়োগকৃত সমষ্টিকারীর সমান হতে হবে: $1/F = \Phi(\{1/e_i\})$। এটি নিশ্চিত করে যে কোনও মুদ্রার প্রতি কোনও অন্তর্নিহিত পক্ষপাত নেই।
3. পুনঃমূল্যায়ন অপরিবর্তনীয়তা: সমাধানটি মুদ্রাকে কেবল পুনঃস্কেল করার (যেমন, ইউরো থেকে সেন্টে রূপান্তর) প্রতি অপরিবর্তনীয় হওয়া উচিত। এটি $\Phi$-এর উপর একটি সমজাতীয়তার শর্ত আরোপ করে।

4. গাণিতিক সমাধান ও শ্রেণিবিন্যাস

4.1 সাধারণ সমাধানের উদ্ভব

উল্লিখিত স্বতঃসিদ্ধগুলির অধীনে, লেখকরা প্রমাণ করেন যে ফরওয়ার্ড হার $F$-কে একটি নির্দিষ্ট ফাংশন সমীকরণ সন্তুষ্ট করতে হবে। প্রতিসাম্য স্বতঃসিদ্ধটি বিশেষভাবে শক্তিশালী, যা এই প্রয়োজনীয়তার দিকে নিয়ে যায় যে $F$ এবং $1/F$ যথাক্রমে $\{e_i\}$ এবং $\{1/e_i\}$-এ প্রয়োগকৃত একই নিয়ম দ্বারা নির্ধারিত হয়।

4.2 পারস্পরিকতা ফাংশন

যে মূল গাণিতিক বস্তুটি উদ্ভূত হয় তা হলো একটি পারস্পরিকতা ফাংশন $R$। মূল ফলাফলটি হলো যে যেকোনো আর্বিট্রেজ-মুক্ত, প্রতিসম ফরওয়ার্ড হার নিম্নলিখিত আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে: $$F = \frac{\mathbb{E}[E_T \cdot R(E_T)]}{\mathbb{E}[R(E_T)]}$$ যেখানে $R: (0, \infty) \to (0, \infty)$ একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন যা নিম্নলিখিত পারস্পরিকতা শর্তটি সন্তুষ্ট করে: $$R(x) = \frac{1}{x \cdot R(1/x)} \quad \text{সকল } x > 0 \text{ এর জন্য।}$$ এখানে, $\mathbb{E}$ ঝুঁকি-নিরপেক্ষ বা ব্যক্তিগত সম্ভাব্যতা পরিমাপের অধীনে প্রত্যাশা নির্দেশ করে। ফাংশন $R$ একটি ওজন বা "আলোচনা" কার্নেল হিসেবে কাজ করে।

4.3 সকল বৈধ সমষ্টিকারীর শ্রেণিবিন্যাস

গবেষণাপত্রটি একটি সম্পূর্ণ বৈশিষ্ট্যায়ন প্রদান করে: প্রতিটি সমষ্টিকারী যা তিনটি স্বতঃসিদ্ধ সন্তুষ্ট করে, তা উপরে সংজ্ঞায়িত একটি পারস্পরিকতা ফাংশন $R$-এর সাথে অনন্যভাবে সঙ্গতিপূর্ণ। এই শ্রেণীতে সুপরিচিত বিশেষ ক্ষেত্রগুলি অন্তর্ভুক্ত:

• যদি $R(x) = 1$ হয়, তাহলে $F = \mathbb{E}[E_T]$ (গাণিতিক গড়)। এটি প্রতিসাম্য স্বতঃসিদ্ধ লঙ্ঘন করে যদি না $E_T$ ধ্রুবক হয়।
• যদি $R(x) = 1/x$ হয়, তাহলে $F = 1 / \mathbb{E}[1/E_T]$ (হারমোনিক গড়)। এটি সাধারণভাবে প্রতিসাম্যও লঙ্ঘন করে।
• জ্যামিতিক গড় অনন্য, প্রাকৃতিক প্রতিসম সমাধান হিসেবে উদ্ভূত হয়। এটি $R(x) = 1/\sqrt{x}$ পছন্দের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ। সাধারণ সূত্রে প্রতিস্থাপন করলে পাওয়া যায়: $$F = \frac{\mathbb{E}[E_T \cdot (1/\sqrt{E_T})]}{\mathbb{E}[1/\sqrt{E_T}]} = \frac{\mathbb{E}[\sqrt{E_T}]}{\mathbb{E}[1/\sqrt{E_T}]} = \exp\left(\mathbb{E}[\ln E_T]\right).$$ শেষের সমতা নির্দিষ্ট বন্টনগত অনুমানের অধীনে (যেমন লগ-স্বাভাবিকতা) বা অবিচ্ছিন্ন অবস্থার সীমায় ধারণ করে, $F$-কে প্রত্যাশিত লগ-হারের সূচকীয় হিসেবে চিহ্নিত করে, অর্থাৎ জ্যামিতিক গড়।

সুতরাং, জ্যামিতিক গড় কেবল একটি নির্বিচারে পছন্দ নয়, বরং একটি বিস্তৃত পরিবারের মধ্যে প্রামাণিক, স্বতঃসিদ্ধভাবে ন্যায্য সমাধান।

5. প্রযুক্তিগত বিশ্লেষণ ও মূল অন্তর্দৃষ্টি

6. বিশ্লেষকের দৃষ্টিকোণ: একটি চার-ধাপ বিশ্লেষণ

মূল অন্তর্দৃষ্টি: মাল্লাহি-কারাই এবং সাফারি শুধু একটি ধাঁধা সমাধান করেননি; তারা পুরো কথোপকথনকে পুনর্বিন্যাস করেছেন। তারা দেখিয়েছেন যে সিগেলের "প্যারাডক্স" আসলে একটি দ্বি-মুদ্রা বিশ্বে যেকোনো সুসংগত মূল্য নির্ধারণ প্রক্রিয়ার জন্য একটি নকশা সীমাবদ্ধতা। আসল অন্তর্দৃষ্টি হলো যে ফরওয়ার্ড হার কোন গড়ের পূর্বাভাস নয়; এটি একটি সামঞ্জস্য-প্রবর্তক অ্যালগরিদম (সমষ্টিকারী) এর আউটপুট যা অপরিবর্তনীয় যৌক্তিক নিয়ম মেনে চলতে বাধ্য—যার মধ্যে প্রধান হলো প্রতিসাম্য। এটি আলোচনাকে ইকোনোমেট্রিক্স থেকে প্রক্রিয়া নকশায় স্থানান্তরিত করে।

যৌক্তিক প্রবাহ: যুক্তির সৌন্দর্য এর সরলতায় নিহিত। ১) সংজ্ঞায়িত করুন একটি "ন্যায্য" মূল্য নির্ধারণ নিয়মের মৌলিকভাবে কী প্রয়োজন (কোন আর্বিট্রেজ নেই, কোন মুদ্রা পক্ষপাত নেই)। ২) এই প্রয়োজনীয়তাগুলিকে গাণিতিক স্বতঃসিদ্ধ হিসেবে প্রকাশ করুন। ৩) ফলস্বরূপ ফাংশন সমীকরণ সমাধান করুন। ৪) আবিষ্কার করুন যে সমাধান স্থানটি একটি "আলোচনা কার্নেল" $R(x)$ দ্বারা প্যারামিটারাইজড, যেখানে জ্যামিতিক গড় তার সবচেয়ে প্রাকৃতিক, অ-ওজনযুক্ত কেন্দ্র হিসেবে রয়েছে। প্রবাহটি নিখুঁত: অর্থনৈতিক নীতি থেকে গাণিতিক প্রয়োজনীয়তা পর্যন্ত।

শক্তি ও দুর্বলতা:
শক্তি: স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতিটি শক্তিশালী ও পরিষ্কার, একটি চূড়ান্ত শ্রেণিবিন্যাস উপপাদ্য প্রদান করে। এটি ঝুঁকি পছন্দের মতো গৌণ বাজার বৈশিষ্ট্য থেকে প্যারাডক্সের যৌক্তিক কেন্দ্রকে সফলভাবে বিচ্ছিন্ন করে। জ্যামিতিক গড়ের সাথে সংযোগ তত্ত্বকে তাৎক্ষণিক, স্বজ্ঞাত ভিত্তি দেয়।
দুর্বলতা: গবেষণাপত্রের প্রধান দুর্বলতা হলো বাস্তব-বিশ্বের বাজার প্রক্রিয়া থেকে এর বিমূর্ততা। এটি একটি একক, সম্মত সম্ভাব্যতা বণ্টন $\mathbb{E}$ ধরে নেয়, কার প্রত্যাশা গুরুত্বপূর্ণ এই সমালোচনামূলক বিষয়টি উপেক্ষা করে। অনুশীলনে, ভিন্নধর্মী বিশ্বাস এবং ডিলারদের কৌশলগত আচরণ (যেমন ব্যাংক ফর ইন্টারন্যাশনাল সেটেলমেন্টসের ট্রাইএনিয়াল সার্ভেতে নথিভুক্ত) সরাসরি প্রয়োগকে জটিল করে তুলবে। মডেলটি যুক্তিসঙ্গততার জন্য একটি বেঞ্চমার্ক, মূল্য গঠনের একটি সম্পূর্ণ ইতিবাচক তত্ত্ব নয়।

কার্যকরী অন্তর্দৃষ্টি: কোয়ান্ট এবং স্ট্রাকচারারদের জন্য, এই গবেষণাপত্রটি ক্রস-কারেন্সি ডেরিভেটিভের মূল্য নির্ধারণে জ্যামিতিক গড় (বা এর ওজনযুক্ত সাধারণীকরণ) ব্যবহারের জন্য একটি কঠোর ন্যায্যতা প্রদান করে যেখানে প্রতিসাম্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, যেমন কোয়ান্টো অপশন বা কারেন্সি-সোয়াপড চুক্তি। ঝুঁকি ব্যবস্থাপকদের লক্ষ্য করা উচিত যে এই স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট না করে এমন কোন ফরওয়ার্ড হার মডেল অন্তর্নিহিতভাবে একটি লুকানো মুদ্রা পক্ষপাত ধারণ করে, যা মডেল ঝুঁকির একটি উৎস হতে পারে। সবচেয়ে বড় উপলব্ধি: সর্বদা আপনার FX মডেলগুলি প্রতিসাম্যের জন্য পরীক্ষা করুন। একটি সহজ পরীক্ষা—মুদ্রা জোড়াটি বিপরীত করে এবং মডেলটি পুনরায় চালালে কি পুরোপুরি সামঞ্জস্যপূর্ণ ফলাফল পাওয়া যায়?—মৌলিক ত্রুটি প্রকাশ করতে পারে।

7. বিশ্লেষণ কাঠামো ও ধারণাগত উদাহরণ

ধারণাগত কেস স্টাডি: একটি ফরওয়ার্ড চুক্তির মূল্য নির্ধারণ
ধরে নিন দুটি সমান সম্ভাব্য ভবিষ্যত EUR/USD পরিস্থিতির উপর বাজার ঐকমত্য: $e_1 = 1.05$ এবং $e_2 = 0.95$।

• গাণিতিক গড় (EUR বিনিয়োগকারীর দৃষ্টিভঙ্গি): $F_A = (1.05 + 0.95)/2 = 1.00$
• হারমোনিক গড় (USD বিনিয়োগকারীর দৃষ্টিভঙ্গি): $F_H = 2 / (1/1.05 + 1/0.95) \approx 0.9975$
• জ্যামিতিক গড় (স্বতঃসিদ্ধ সমাধান): $F_G = \sqrt{1.05 \times 0.95} \approx 0.9987$

জ্যামিতিক গড় $F_G$ হল সেই অনন্য হার যাতে একজন USD-ভিত্তিক বিনিয়োগকারী পারস্পরিক ফরওয়ার্ড (USD/EUR) একই জ্যামিতিক গড় নিয়ম ব্যবহার করে গণনা করে একটি পুরোপুরি সামঞ্জস্যপূর্ণ উত্তর পান: $1/F_G \approx 1.0013$, এবং $\sqrt{(1/1.05) \times (1/0.95)} \approx 1.0013$। অন্য কোন হার এই বৈশিষ্ট্য ধারণ করে না। জ্যামিতিক গড়ের জন্য পারস্পরিকতা ফাংশন হল $R(x)=1/\sqrt{x}$, যা প্রতিটি দৃষ্টিভঙ্গিকে সমানভাবে "ওজন" দেয়।

8. ভবিষ্যত প্রয়োগ ও গবেষণার দিকনির্দেশ

1. ডিজিটাল সম্পদ ও ক্রিপ্টো মার্কেট: এই কাঠামোটি ক্রিপ্টোকারেন্সি জোড়ার (যেমন, BTC/ETH) ফিউচার্স এবং পারপেচুয়াল সোয়াপের মূল্য নির্ধারণের জন্য অত্যন্ত প্রাসঙ্গিক, যেখানে একটি "ভিত্তি" মুদ্রার ধারণা আরও বেশি প্রবাহী এবং প্রতিসাম্য সর্বোচ্চ গুরুত্বপূর্ণ।
2. $R(x)$-এর জন্য মেশিন লার্নিং: পারস্পরিকতা ফাংশন $R(x)$-কে একটি "আলোচনা শক্তি" কার্নেল হিসেবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। অভিজ্ঞতামূলক গবেষণা বাজার ডেটা ব্যবহার করে অন্তর্নিহিত $R(x)$ বিপরীত প্রকৌশল করতে পারে, প্রকাশ করতে পারে যে অনুশীলনে প্রতিসাম্য কীভাবে ওজন করা হয়—সম্ভাব্যভাবে মুদ্রা অঞ্চলগুলির মধ্যে বাজার কাঠামো বা আধিপত্যের একটি নতুন পরিমাপ।
3. বহু-মুদ্রা বাস্কেটে সম্প্রসারণ: স্বাভাবিক পরবর্তী ধাপ হলো স্বতঃসিদ্ধগুলিকে $n$ মুদ্রার একটি নেটওয়ার্কে সাধারণীকরণ করা। এটি FX বাজারে সামঞ্জস্যপূর্ণ সূচক নির্মাণ এবং ত্রিভুজ আর্বিট্রেজ-মুক্ত মূল্য নির্ধারণের সাহিত্যের সাথে সংযুক্ত করে, একটি বিষয় যা IMF-এর মতো প্রতিষ্ঠান দ্বারা SDR মূল্যায়নের জন্য গভীরভাবে অন্বেষণ করা হয়েছে।
4. স্টোকাস্টিক ডিসকাউন্ট ফ্যাক্টরের সাথে একীকরণ: এই প্রতিসম সমষ্টিকারী পদ্ধতিকে স্ট্যান্ডার্ড সম্পদ মূল্য নির্ধারণ তত্ত্বের (স্টোকাস্টিক ডিসকাউন্ট ফ্যাক্টরের মাধ্যমে) সাথে একীভূত করা নতুন, পরীক্ষাযোগ্য মডেল তৈরি করতে পারে ফরওয়ার্ড হার কার্ভের জন্য যা অন্তর্নিহিতভাবে সিগেল-ধরনের অসঙ্গতি থেকে মুক্ত।

9. তথ্যসূত্র

1. সিগেল, জে. জে. (১৯৭২)। ঝুঁকি, সুদের হার এবং ফরওয়ার্ড এক্সচেঞ্জ। দ্য কোয়ার্টারলি জার্নাল অফ ইকোনমিক্স, ৮৬(২), ৩০৩–৩০৯।
2. অবস্টফেল্ড, এম., এবং রোগফ, কে. (১৯৯৬)। ফাউন্ডেশনস অফ ইন্টারন্যাশনাল ম্যাক্রোইকোনমিক্স। এমআইটি প্রেস। (সিগেলের প্যারাডক্স নিয়ে অধ্যায় ৮, বিভাগ ৮.৩ দেখুন)।
3. ব্যাংক ফর ইন্টারন্যাশনাল সেটেলমেন্টস। (২০১৯)। ট্রাইএনিয়াল সেন্ট্রাল ব্যাংক সার্ভে: এপ্রিল ২০১৯-এ বৈদেশিক মুদ্রার লেনদেন। [বাহ্যিক উৎস: FX বাজারের বিশাল পরিসরের প্রেক্ষাপট প্রদান করে]।
4. নালেবাফ, বি. (১৯৮৯)। অপর ব্যক্তির খাম সবসময় সবুজ। জার্নাল অফ ইকোনমিক পারস্পেকটিভস, ৩(১), ১৭১–১৮১।
5. বিনস্টক, এম. (১৯৮৫)। সিগেলের প্যারাডক্স সম্পর্কে একটি নোট। জার্নাল অফ ইন্টারন্যাশনাল মানি অ্যান্ড ফাইন্যান্স, ৪(২), ২৮৭–২৯০।
6. এডলিন, এ. এস. (২০০২)। ফরওয়ার্ড ডিসকাউন্ট পক্ষপাত, সিগেলের প্যারাডক্স, এবং বাজার অদক্ষতা। ইকোনোমেট্রিক সোসাইটি ওয়ার্ল্ড কংগ্রেস ২০০২ কন্ট্রিবিউটেড পেপারস।
7. রোপার, ডি. ই. (১৯৭৫)। ফরওয়ার্ড কারেন্সি মার্কেটে স্পেকুলেটিভ সিদ্ধান্তের জন্য প্রত্যাশিত মান বিশ্লেষণের ভূমিকা। দ্য কোয়ার্টারলি জার্নাল অফ ইকোনমিক্স, ৮৯(১), ১৫৭–১৬৯।