সূচিপত্র
1. ভূমিকা
এই গবেষণাপত্রটি বৈদেশিক মুদ্রা (এফএক্স) হার মডেলিং এবং ইউরোপীয় অপশনের মূল্য নির্ধারণের জন্য একটি এনট্রপিক গতিবিদ্যা কাঠামো উপস্থাপন করে। মূল উদ্দেশ্য হল আর্থিক গতিবিদ্যার জন্য ঐতিহ্যগত স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাসের বাইরে গিয়ে তথ্য-তাত্ত্বিক ভিত্তি প্রদান করা। লেখকগণ, মোহাম্মদ আবেদী এবং ড্যানিয়েল বার্তোলোমেও, এনট্রপিক অনুমান-এর নীতিগুলি ব্যবহার করেছেন—অসম্পূর্ণ তথ্যের অধীনে যুক্তি প্রদর্শনের একটি পদ্ধতি—প্রথম নীতি থেকে সুপরিচিত আর্থিক মডেলগুলো উদ্ভাবনের জন্য।
এই কাজ সর্বোচ্চ এনট্রপি এবং তথ্য জ্যামিতির বিমূর্ত ধারণাগুলিকে ব্যবহারিক অর্থসংস্থানের সাথে সংযুক্ত করে, যা বিনিময় হারের জন্য জিওমেট্রিক ব্রাউনিয়ান মোশন (জিবিএম) এবং এফএক্স অপশনের জন্য গারম্যান-কোলহাগেন মডেল-এর উদ্ভাবনে পরিণত হয়। এই পদ্ধতিটি মুদ্রা জোড়ায় অন্তর্নিহিত স্কেল ইনভেরিয়েন্স প্রতিসাম্যকে তুলে ধরে, যা বিনিময় হারের লগারিদম মডেলিংয়ের প্রাকৃতিক পছন্দের দিকে নিয়ে যায়।
2. তাত্ত্বিক কাঠামো
2.1. এনট্রপিক অনুমান এবং সর্বোচ্চ এনট্রপি
এনট্রপিক অনুমান হল অসম্পূর্ণ তথ্যের পরিস্থিতির জন্য একটি আবেশমূলক কাঠামো। এর প্রথম সরঞ্জাম হল বিশ্বাসের অবস্থা উপস্থাপনের জন্য সম্ভাব্যতা তত্ত্ব। দ্বিতীয়টি হল আপেক্ষিক এনট্রপি (বা কুলব্যাক-লেইব্লার ডাইভারজেন্স), যা নতুন তথ্য আসলে বিশ্বাস হালনাগাদ করতে ব্যবহৃত হয়, ন্যূনতম হালনাগাদের নীতি দ্বারা পরিচালিত। আপেক্ষিক এনট্রপি সর্বাধিককরণ করলে সর্বনিম্ন পক্ষপাতদুষ্ট পোস্টেরিয়র বন্টন পাওয়া যায় যা সমস্ত উপলব্ধ তথ্য অন্তর্ভুক্ত করে।
তৃতীয় সরঞ্জামটি হল তথ্য জ্যামিতি, যা সম্ভাব্যতা বন্টনের স্থানে একটি মেট্রিক প্রদান করে। যদিও এখানে গভীরভাবে অন্বেষণ করা হয়নি, লেখকগণ পোর্টফোলিও ব্যবস্থাপনা এবং বহু-সম্পদ গতিবিদ্যার জন্য এর সম্ভাব্য তাৎপর্য উল্লেখ করেছেন।
2.2. এনট্রপিক গতিবিদ্যা এবং সময়
এনট্রপিক গতিবিদ্যা সিস্টেম কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা মডেল করতে এনট্রপিক অনুমান প্রয়োগ করে। একটি মূল উদ্ভাবন হল একটি এনট্রপিক সময় প্যারামিটারের পরিচয়, যা উদ্ভূত এবং সার্বজনীন ঘড়ি হওয়ার পরিবর্তে নির্দিষ্ট সিস্টেমের জন্য উপযুক্ত। এই ধারণাটি বিভিন্ন পদার্থবিজ্ঞানের প্রসঙ্গে সফলভাবে প্রয়োগ করা হয়েছে এবং এখানে অর্থসংস্থানের জন্য অভিযোজিত হয়েছে।
2.3. বৈদেশিক মুদ্রায় স্কেল ইনভেরিয়েন্স
এফএক্স বাজারের একটি মৌলিক প্রতিসাম্য হল স্কেল ইনভেরিয়েন্স: গতিবিদ্যা নির্ভর করবে না যে আমরা বিনিময় হার USD/EUR হিসাবে উদ্ধৃত করি নাকি এর পারস্পরিক রূপে। এই প্রতিসাম্য নির্দেশ করে যে মডেলটি বিনিময় হারের লগারিদম, $x = \ln S$-এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রণয়ন করা উচিত, যেখানে $S$ হল স্পট এফএক্স হার। $S \to \lambda S$ (একটি সাধারণ স্কেলিং) এর মতো রূপান্তরগুলি $x$-এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করলে গতিবিদ্যা অপরিবর্তিত থাকে।
3. মডেল উদ্ভাবন
3.1. এনট্রপিক নীতি থেকে জিবিএম-এ
একটি এফএক্স হার সম্পর্কে পূর্ববর্তী তথ্য—নির্দিষ্টভাবে, এর প্রাথমিক মান এবং অস্থিরতা—দিয়ে শুরু করে, লেখকগণ এর সময় বিবর্তন উদ্ভাবনের জন্য এনট্রপিক গতিবিদ্যা কাঠামো ব্যবহার করেছেন। বাজার পর্যবেক্ষণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সীমাবদ্ধতা আরোপ করে (যেমন সসীম প্রকরণ) এবং এনট্রপি সর্বাধিককরণ করে, দেখানো হয়েছে যে ভবিষ্যতের লগ-বিনিময় হার $x$-এর জন্য ফলস্বরূপ সম্ভাব্যতা বন্টন একটি ড্রিফট-ডিফিউশন প্রক্রিয়া অনুসরণ করে।
স্পট রেট $S = e^x$-এ ফিরে রূপান্তরিত করলে, এই প্রক্রিয়াটি পরিচিত জিওমেট্রিক ব্রাউনিয়ান মোশন (জিবিএম)-এ পরিণত হয়: $$ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t $$ যেখানে $\mu$ হল ড্রিফট, $\sigma$ হল অস্থিরতা, এবং $W_t$ হল একটি ওয়াইনার প্রক্রিয়া। উদ্ভাবনটি স্পষ্টভাবে স্কেল ইনভেরিয়েন্সকে সম্মান করে।
3.2. ঝুঁকি-নিরপেক্ষ পরিমাপ এবং অপশন মূল্যায়ন
ডেরিভেটিভের মূল্য নির্ধারণ করতে, নো-আরবিট্রেজ নীতি আহ্বান করা হয়। লেখকগণ দেখিয়েছেন কিভাবে এনট্রপিক কাঠামোর মধ্যে একটি ঝুঁকি-নিরপেক্ষ পরিমাপ $\mathbb{Q}$ উদ্ভাবন করা যায়। এতে জিবিএম প্রক্রিয়ার ড্রিফটকে দুটি মুদ্রার মধ্যে ঝুঁকিমুক্ত হার পার্থক্য, $(r_d - r_f)$-এ সমন্বয় করা জড়িত।
$\mathbb{Q}$-এর অধীনে, গতিবিদ্যা হয়ে যায়: $$ dS_t = (r_d - r_f) S_t dt + \sigma S_t dW_t^{\mathbb{Q}} $$ এই গতিবিদ্যা সহ এফএক্স হারে একটি ইউরোপীয় কল অপশনের মূল্য নির্ধারণ সরাসরি গারম্যান-কোলহাগেন সূত্র-এর দিকে নিয়ে যায়, যা ব্ল্যাক-স্কোলস সূত্রের এফএক্স সাদৃশ্য।
4. ফলাফল ও আলোচনা
4.1. গারম্যান-কোলহাগেন মডেল
এনট্রপিক উদ্ভাবনের চূড়ান্ত ফলাফল হল একটি ইউরোপীয় কল অপশনের মূল্যের জন্য গারম্যান-কোলহাগেন মডেল: $$ C = S_0 e^{-r_f T} \Phi(d_1) - K e^{-r_d T} \Phi(d_2) $$ যেখানে $$ d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r_d - r_f + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} $$ $S_0$ হল স্পট রেট, $K$ হল স্ট্রাইক, $T$ হল মেয়াদ পর্যন্ত সময়, $r_d$ এবং $r_f$ হল দেশীয় ও বিদেশী ঝুঁকিমুক্ত হার, $\sigma$ হল অস্থিরতা, এবং $\Phi$ হল স্ট্যান্ডার্ড নরমাল সিডিএফ।
4.2. ঐতিহ্যগত পদ্ধতির সাথে তুলনা
প্রবন্ধটির প্রাথমিক অবদান হল পদ্ধতিগত। এটি প্রতিষ্ঠিত মডেলগুলো (জিবিএম, গারম্যান-কোলহাগেন) স্টোকাস্টিক ক্যালকুলাস এবং হেজিং যুক্তির মাধ্যমে নয়, বরং এনট্রপি সর্বাধিককরণ এবং প্রতিসাম্যের উপর ভিত্তি করে একটি তথ্য-তাত্ত্বিক, প্রথম-নীতি পদ্ধতির মাধ্যমে পুনরুদ্ধার করে। এটি এই মডেলগুলোর জন্য একটি গভীর, আরও মৌলিক ন্যায্যতা প্রদান করে এবং ভিন্ন বা আরও জটিল তথ্য সীমাবদ্ধতা অন্তর্ভুক্ত করে সেগুলোকে সাধারণীকরণের দরজা খুলে দেয়।
5. মূল অন্তর্দৃষ্টি ও বিশ্লেষকের দৃষ্টিভঙ্গি
মূল অন্তর্দৃষ্টি: এই গবেষণাপত্রটি একটি নতুন, উন্নত মূল্য নির্ধারণ সূত্র সম্পর্কে নয়; এটি একটি দার্শনিক শক্তি খেলা। এটি যুক্তি দেয় যে ব্যাচেলিয়ার থেকে ব্ল্যাক-স্কোলস পর্যন্ত, ক্রমাগত-সময়ের অর্থসংস্থানের সমস্ত কাঠামো তথ্য তত্ত্ব এবং সর্বোচ্চ এনট্রপির নীতি ব্যবহার করে ভিত্তি থেকে পুনর্নির্মাণ করা যেতে পারে। লেখকগণ মূলত বলছেন, "এক মুহূর্তের জন্য ইটোর লেমা ভুলে যান; আমরা যা জানি, তার ভিত্তিতে বাজারের আচরণ কেবলমাত্র সবচেয়ে কম বিস্ময়কর জিনিস যা করতে পারে।" এটি মূল্য মডেলিং থেকে মূল্য সম্পর্কে জ্ঞান মডেলিং-এ একটি গভীর পরিবর্তন।
যুক্তিগত প্রবাহ: যুক্তিটি মার্জিত এবং সংক্ষিপ্ত। ১) আমাদের অসম্পূর্ণ তথ্য রয়েছে (একটি পূর্ববর্তী বন্টন)। ২) আমাদের প্রতিসাম্য রয়েছে (স্কেল ইনভেরিয়েন্স)। ৩) আমরা আমাদের বিশ্বাসগুলিকে এমন সরঞ্জাম ব্যবহার করে হালনাগাদ করি যা সেগুলিকে সর্বনিম্ন পরিবর্তন করে (সর্বোচ্চ আপেক্ষিক এনট্রপি)। ৪) এই হালনাগাদ, গতিবিদ্যা হিসাবে ব্যাখ্যা করলে, আমাদের জিবিএম দেয়। ৫) নো-আরবিট্রেজ ড্রিফট স্থির করে, আমাদের মূল্য নির্ধারণের জন্য ঝুঁকি-নিরপেক্ষ পরিমাপ দেয়। এটি একটি পরিষ্কার, স্বতঃসিদ্ধ-চালিত উদ্ভাবন যা ঐতিহ্যগত পিডিই/হেজিং যুক্তিকে তুলনামূলকভাবে প্রায় কদর্য দেখায়।
শক্তি ও ত্রুটি: শক্তি হল মৌলিক মার্জিততা এবং সাধারণীকরণের সম্ভাবনা। ই.টি. জয়েনস এবং পরবর্তীতে ক্যাটিচার কাজে পদার্থবিজ্ঞানে দেখা গেছে, এনট্রপিক পদ্ধতিগুলি সরল নীতি থেকে ক্যানোনিকাল ফলাফল উদ্ভাবনে দক্ষ। ত্রুটিটি, অনেক মার্জিত তত্ত্বের মতো, বিশৃঙ্খল বাস্তবতার সাথে ব্যবধান। কাঠামোটি মার্জিতভাবে জিবিএম উদ্ভাবন করে, কিন্তু জিবিএম নিজেই এফএক্স-এর জন্য একটি ত্রুটিপূর্ণ মডেল (এটি লেজ ঝুঁকিকে অবমূল্যায়ন করে, অস্থিরতা ক্লাস্টারিং উপেক্ষা করে)। গবেষণাপত্রটি জাম্প এবং তথ্য জ্যামিতির উপর ভবিষ্যতের কাজের সংক্ষিপ্ত উল্লেখ করে, যা আসল পরীক্ষার স্থান। এই কাঠামো কি সহজেই সঠিক সীমাবদ্ধতা যোগ করে বাজারের স্টাইলাইজড তথ্যগুলি (যেমন, ফ্যাট টেইল) স্বাভাবিকভাবে অন্তর্ভুক্ত করতে পারে, নাকি এর বিশুদ্ধতা হ্রাস করে এমন অ্যাড-হক সমন্বয়ের প্রয়োজন হবে?
কার্যকরী অন্তর্দৃষ্টি: কোয়ান্ট এবং মডেল বৈধতাকারীদের জন্য, এই গবেষণাপত্রটি একটি বাধ্যতামূলক পাঠ। এটি মডেল ঝুঁকি মূল্যায়ন-এর জন্য একটি নতুন লেন্স প্রদান করে। শুধুমাত্র একটি মডেলের ফিট পরীক্ষা করার পরিবর্তে, জিজ্ঞাসা করুন: "এই মডেলটি কোন তথ্য ধরে নিচ্ছে? সেই তথ্য সেটটি সম্পূর্ণ এবং উপযুক্ত কি?" উদ্ভাবকদের জন্য, রোডম্যাপ পরিষ্কার। পরবর্তী ধাপ হল এই কাঠামো ব্যবহার করে নতুন মডেল তৈরি করা। লেখকদের বেটস এবং হেস্টন মডেলের উল্লেখ দ্বারা ইঙ্গিতিত হিসাবে, পর্যবেক্ষিত ইমপ্লায়েড ভোলাটিলিটি স্মাইল বা জাম্প ফ্রিকোয়েন্সি সম্পর্কে তথ্য দিয়ে এনট্রপি সর্বাধিককরণকে সীমাবদ্ধ করুন। পুরস্কার হল ডেরিভেটিভ মূল্য নির্ধারণের একটি সুসংগত, একীভূত তত্ত্ব যা অসামঞ্জস্যপূর্ণ মডেলগুলিকে একসাথে সেলাই করে না। পিটার্স এবং গেল-মান (২০১৬)-এর এর্গোডিসিটি ইকোনমিক্সের কাজ দেখায় যে অনুরূপ মৌলিক পুনর্বিবেচনা গতি পাচ্ছে। এই গবেষণাপত্রটি সেই দিকে একটি দৃঢ় পদক্ষেপ, কিন্তু বাজারের দার্শনিক আবেদনের বাইরে এর উপযোগিতার চূড়ান্ত বিচারক হবে।
6. প্রযুক্তিগত বিবরণ
গাণিতিক কোরটি একটি পূর্ববর্তী $Q(x'|x)$-এর সাপেক্ষে একটি পোস্টেরিয়র বন্টন $P(x'|x)$-এর আপেক্ষিক এনট্রপি $\mathcal{S}[P|Q]$ সর্বাধিককরণ জড়িত, সীমাবদ্ধতার অধীনে। একটি মূল সীমাবদ্ধতা হল প্রত্যাশিত বর্গ স্থানচ্যুতি, যা অস্থিরতা $\sigma$ প্রবর্তন করে: $$ \langle (\Delta x)^2 \rangle = \kappa dt $$ যেখানে $\kappa$ অস্থিরতা $\sigma$-এর সাথে সম্পর্কিত। সর্বাধিককরণ একটি গাউসিয়ান ট্রানজিশন সম্ভাবনা দেয়: $$ P(x'|x) \propto \exp\left(-\frac{(x' - x - \alpha dt)^2}{2\kappa dt}\right) $$ যা ধারাবাহিক সীমায় $x_t$-এর জন্য ড্রিফট-ডিফিউশন এসডিই-এর দিকে নিয়ে যায়। উদ্ভাবিত জিবিএম প্রক্রিয়ায় প্রয়োগ করা স্ট্যান্ডার্ড ঝুঁকি-নিরপেক্ষ মূল্যায়ন যুক্তির মাধ্যমে ব্ল্যাক-স্কোলস-মার্টন পিডিই-এর সাথে সংযোগ স্থাপন করা হয়।
7. বিশ্লেষণ কাঠামোর উদাহরণ
কেস: ভোলাটিলিটি স্মাইল তথ্য অন্তর্ভুক্ত করা। এনট্রপিক কাঠামো অতিরিক্ত বাজার তথ্যের একীকরণের অনুমতি দেয়। ধরুন, স্পট মূল্য এবং ঐতিহাসিক অস্থিরতার বাইরেও, আমাদের অপশন বাজার থেকে তথ্য রয়েছে যা বোঝায় যে লগ-রিটার্নের ঝুঁকি-নিরপেক্ষ বন্টন গাউসিয়ান নয় বরং নেতিবাচক স্কিউনেস এবং অতিরিক্ত কার্টোসিস (একটি ভোলাটিলিটি স্মাইল) রয়েছে।
ধাপ ১: সীমাবদ্ধতা সংজ্ঞায়িত করুন। প্রকরণ সীমাবদ্ধতা $\langle (\Delta x)^2 \rangle = \sigma^2 dt$-এর অতিরিক্ত, আমরা পর্যবেক্ষিত ইমপ্লায়েড ভোলাটিলিটি সারফেস থেকে মোমেন্ট সীমাবদ্ধতা যোগ করি: $$ \langle (\Delta x)^3 \rangle = \tilde{S} dt, \quad \langle (\Delta x)^4 \rangle - 3\langle (\Delta x)^2 \rangle^2 = \tilde{K} dt $$ যেখানে $\tilde{S}$ এবং $\tilde{K}$ প্রতি ইউনিট সময় স্কিউনেস এবং কার্টোসিস ধারণ করে।
ধাপ ২: এনট্রপি সর্বাধিক করুন। এই চারটি সীমাবদ্ধতা (গড়, প্রকরণ, স্কিউনেস, কার্টোসিস) সহ আপেক্ষিক এনট্রপি সর্বাধিককরণ একটি ট্রানজিশন সম্ভাবনা $P(x'|x)$-এর দিকে নিয়ে যায় যা একটি গ্রাম-চার্লিয়ার সিরিজ বা একটি আরও সাধারণ এক্সপোনেনশিয়াল ফ্যামিলি বন্টন দ্বারা বর্ণিত, একটি সরল গাউসিয়ান নয়।
ধাপ ৩: গতিবিদ্যা উদ্ভাবন করুন। ফলস্বরূপ ধারাবাহিক-সময় সীমা হবে একটি ডিফিউশন প্রক্রিয়া যার অবস্থা-নির্ভর ড্রিফট এবং অস্থিরতা, বা সম্ভাব্যভাবে একটি জাম্প-ডিফিউশন প্রক্রিয়া, কার্যকরভাবে বেটস বা হেস্টনের মতো একটি মডেলকে একটি স্টোকাস্টিক ভোলাটিলিটি প্রক্রিয়া পূর্বনির্ধারণ করার পরিবর্তে তথ্যগত প্রথম নীতি থেকে উদ্ভাবন করে।
এই উদাহরণটি আরও সূক্ষ্ম বাজার তথ্যকে সীমাবদ্ধতা হিসাবে স্পষ্টভাবে অন্তর্ভুক্ত করে মডেলগুলিকে পদ্ধতিগতভাবে সাধারণীকরণের জন্য কাঠামোর শক্তি প্রদর্শন করে।
8. ভবিষ্যত প্রয়োগ ও দিকনির্দেশনা
এনট্রপিক গতিবিদ্যা কাঠামো পরিমাণগত অর্থসংস্থানে ভবিষ্যতের গবেষণার জন্য বেশ কয়েকটি প্রতিশ্রুতিবদ্ধ পথ খুলে দেয়:
- বহু-সম্পদ পোর্টফোলিও এবং তথ্য জ্যামিতি: লেখকগণ পোর্টফোলিও নির্বাচনে তথ্য জ্যামিতি প্রয়োগের কথা উল্লেখ করেছেন। এটি বর্তমান বাজার বন্টন এবং একটি লক্ষ্য সর্বোত্তম বন্টনের মধ্যে "দূরত্ব"-এর উপর ভিত্তি করে গড়-প্রকরণ অপ্টিমাইজেশনের বাইরে গিয়ে নতুন সম্পদ বরাদ্দ কৌশলের দিকে নিয়ে যেতে পারে।
- স্টাইলাইজড তথ্য মডেলিং: কাঠামোটি স্বাভাবিকভাবেই ফ্যাট টেইল, ভোলাটিলিটি ক্লাস্টারিং এবং লিভারেজ ইফেক্ট-এর মতো সুপরিচিত অভিজ্ঞতামূলক বৈশিষ্ট্যগুলি অন্তর্ভুক্ত করার জন্য উপযুক্ত, উপযুক্ত গতিশীল সীমাবদ্ধতা যোগ করে বা অতীত তথ্যের ভিত্তিতে সীমাবদ্ধতাগুলিকে নিজেই সময়-নির্ভর করে।
- অ-স্থির এবং রেজিম-সুইচিং বাজার: আপেক্ষিক এনট্রপিতে পূর্ববর্তী বন্টন $Q$ কাঠামোগত পরিবর্তন প্রতিফলিত করার জন্য গতিশীলভাবে হালনাগাদ করা যেতে পারে, সম্ভাব্যভাবে কাঠামোগত বিরতিতে সাড়া দেয় এমন অভিযোজিত মডেল তৈরি করার একটি নীতিগত উপায় অফার করে।
- আচরণগত অর্থসংস্থান সংহতকরণ: "তথ্য" সীমাবদ্ধতাগুলি বিনিয়োগকারী অনুভূতি বা মনোযোগের মেট্রিক অন্তর্ভুক্ত করার জন্য প্রসারিত করা যেতে পারে, ঐতিহ্যগত পরিমাণগত অর্থসংস্থান এবং আচরণগত মডেলগুলির মধ্যে ব্যবধান পূরণ করে।
- মেশিন লার্নিং সিনার্জি: সর্বোচ্চ এনট্রপির নীতি অনেক মেশিন লার্নিং পদ্ধতির মৌলিক ভিত্তি। এই কাঠামোটি হাইব্রিড এমএল-অর্থসংস্থান মডেলগুলির জন্য একটি কঠোর তথ্য-তাত্ত্বিক ভিত্তি প্রদান করতে পারে, ব্যাখ্যা করতে পারে কেন নির্দিষ্ট নিউরাল নেটওয়ার্ক আর্কিটেকচার বা নিয়মিতকরণ কৌশলগুলি আর্থিক সময় সিরিজের জন্য ভাল কাজ করে।
চূড়ান্ত লক্ষ্য হল বাজার গতিবিদ্যার একটি একীভূত, স্বতঃসিদ্ধ-ভিত্তিক তত্ত্ব যা তাত্ত্বিকভাবে শব্দ এবং অভিজ্ঞতামূলকভাবে সঠিক উভয়ই, আজকের আর্থিক প্রকৌশলে সাধারণ অ্যাড-হক মডেল প্যাচিংয়ের প্রয়োজনীয়তা হ্রাস করে।
9. তথ্যসূত্র
- Jaynes, E. T. (1957). Information Theory and Statistical Mechanics. Physical Review, 106(4), 620–630.
- Caticha, A. (2012). Entropic Inference and the Foundations of Physics. In Proceedings of the MaxEnt 2012 conference.
- Garman, M. B., & Kohlhagen, S. W. (1983). Foreign currency option values. Journal of International Money and Finance, 2(3), 231–237.
- Black, F., & Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81(3), 637–654.
- Peters, O., & Gell-Mann, M. (2016). Evaluating gambles using dynamics. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 26(2), 023103. https://doi.org/10.1063/1.4940236
- Amari, S. I. (2016). Information Geometry and Its Applications. Springer.
- Bachelier, L. (1900). Théorie de la spéculation. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, 3(17), 21–86.